素数定理に気づくために

素数定理に気づこう!のコーナーです。

 

素数の定義だけ一応いっておきます。1と自分自身にしか約数を持たない2以上の自然数を素数といいます。いいかえると、自分自身より小さい2数の積に分解できないような2以上の数ですね。小さい方からみてみると次の通り。

 2,3は素数です。

 4   2\times 2と分解できますから素数ではありません。

 5 は素数です。

 6  2\times 3 と分解できますから素数ではありません。

 7 は素数です。

 8  2\times 4 と分解できますから素数ではありません。

 9  3\times 3 と分解できますから素数ではありません。

 10  2\times 5 と分解できますから素数ではありません。

 \cdots  

 

さて、素数は無限にあることが知られていますが、その分布がどうなっているか、ということが昔から研究されてきました。その中でも中心的な役割を果たしてきたのが、 \pi(x) という関数です。 \pi(x)  x 以下の素数の個数のことです。

 

例えば上の計算でやったように、 10 以下の素数は 2,3,5,7 の4つですから、

  \pi(10)=4

となります。

 \pi(100) あたりまで自分の手で一度は求めておきたいですね。是非、 100 以下の自然数を紙にかいて、素数でないものに次々とバツを書くことで100以下の素数を求めてみましょう。

 

でもそれ以上大きい数になると紙とペンだけで \pi(x) を求めるのはかなり大変な作業になってきます。そこで今回は下に埋め込まれた計算機を利用して、 x

  100,1000,\cdots ,  1000000(100万)

の場合についてそれぞれ \pi(x) を求めてみましょう。

 

下の画面に左右に動かせるスライダーがありますが、細かい数値が指定しにくいという場合には、入力窓から数字を入れて計算ボタンを押してみてくださいね。

(2018.7.27追記)スマホだと100万はブラウザが落ちる模様。10万ぐらいにしといた方が無難です。すみません。

最後の100万をいれたときの計算は数十秒かかります。 気長に待ちましょう。

 

…上の計算機を信じて結果を書くと以下のようになります。

 \pi(10)=4 

 \pi(100)=25

 \pi(1000)=168

 \pi(10000)=1229

 \pi(100000)=9592

 \pi(1000000)=78498

上のままですとどんどん大きくなっているぐらいしかわかりませんので、少し工夫して \displaystyle \frac{x}{\pi(x)} を計算してみましょう。この値を計算することで、 \pi(x) の変化の様子が見えやすくなります。

 

 x=10 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=2.5

 x=100 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=4.0

 x=1000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=6.0

 x=10000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=8.1

 x=100000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=10.4

 x=1000000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=12.7

 

…どうですか。なんとなく変化に規則が見られませんか?どの箇所でも、 x が10倍されるごとに \displaystyle \frac{x}{\pi(x)} が2前後増えていることがわかるのではないでしょうか。この規則は x をもっと大きくするとさらに明確になり、

 x=10000000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=15.0

 x=100000000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=17.4

 x=1000000000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=19.7

 x=10000000000 のとき \displaystyle \frac{x}{\pi(x)}=22.0  

 

…のように、 x が10倍されるごとに \displaystyle  \frac{x}{\pi(x)} が約 2.3 増えていることがわかります。

 

…ここから先は少し知識が必要になりますが、もう少し頑張って先に進みましょう。みなさんが知っている関数 y=f(x) で、 x の値が 10,10^2, 10^3, \cdots  10 倍されるごとに y が一定量増えるようなものはありますかね…

 

これに答えられるとなかなかいいセンスです…正解はログですね。自然対数

  y=\log x

 x=10^n のとき y=\log 10^n =n\log 10であり、また \displaystyle  \log 10=2.302585\cdots ということも考慮すると、おおむね

  \displaystyle  y=2.30n

となります。これは先ほどの x  10 倍されるごとに(つまり x=10^n  n が一つ増えるごとに)値が2.3ずつ増える、という結果と一致しています。

 

よって、 \displaystyle \frac{x}{\pi(x)} と関数 \displaystyle  y=\log x は同じような増え方をしているだろうと観察できるわけです。

 

上の観察された内容は実際に正しいことが証明されています。定理の形で述べておきます。

素数定理

 x 以下の素数の個数 \pi(x) に対して、

 \displaystyle  \pi(x) \sim \frac{x}{\log x}

が成立する。

上定理内で \sim は両方の関数を割って極限をとると 1 に収束すること、すなわち

 \displaystyle  \frac{x}{\pi(x)\log x}\to 1 (n\to \infty)

を意味します。右辺と左辺の差が 0 に近いという近似ではなく、比が1  に近い、という近似なのです。

 

今回はこの辺で。