ベルヌーイ型の微分方程式の解法

今回の内容の動画版→ベルヌーイ型 微分方程式の解き方 

今回はベルヌーイ型と呼ばれるの微分方程式です。以前の記事で、次のことを扱いました。

一階線型微分方程式とその解法

線型一階微分方程式

\(  \displaystyle y’+P(x)y=Q(x) \) …①

は、両辺に\( \displaystyle e^{\int P(x)dx} \)(積分因子という)をかけると解ける。

詳しくは以前の記事をご覧ください→線型一階型の微分方程式、積分因子をかけて解く

①の解き方を使うと、少し工夫することで次のベルヌーイ型とよばれる型も解くことができます。

ベルヌーイ型の微分方程式

\( \displaystyle  y’+P(x)y=Q(x)y^n \) …②

ベルヌーイ型は一階線型微分方程式①の形の右辺に\( \displaystyle  y^n \)がついてしまっているパターンです。\( \displaystyle  n=0 \)のときがちょうど①そのもの、また\( \displaystyle  n=1 \)のときは変数分離形になるので以下では\( \displaystyle  n\not=0,1 \)とします。

ベルヌーイ型の微分方程式②の場合、次のような工夫をすることで線型一階微分方程式①の形することができます。

まず②で\( \displaystyle  y^n \)の形をなくすために両辺に\( \displaystyle  y^{-n} \)をかけましょう。

\( \displaystyle  \frac{y’}{y^n}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \) …②’

ここで\( \displaystyle  y^{1-n} \)を\(  z \)とおきます。こうおくことで①の型に帰着されます。実際、合成関数の微分より

\(  z=y^{1-n} \)から\( z’=(1-n)y^{-n}y’ \)

となって②’の左辺第一項が登場して非常に都合が良いです。②’をかきかると

\( \displaystyle \frac{1}{1-n}z’+P(x)z=Q(x) \)

と、線型一階微分方程式①の形になります。方法をまとめます。

ベルヌーイ型微分方程式の解き方

ベルヌーイ型の微分方程式

\( \displaystyle  y’+P(x)y=Q(x)y^n \) …②

は、\(  y^n \)で両辺を割って

\( \displaystyle  \frac{y’}{y^n}+P(x)y^{1-n}=Q(x) \) …②’

\(  y \)の “係数” \(  y^{1-n} \)を\(   z\)などとおくことで一階線型①の形に帰着される。

具体例を1つやっておきましょう。

\( \displaystyle  y’-\frac{1}{x}y=\frac{1}{x}y^3 \)を解け。

(解)定数関数\(  y=0 \)は方程式の解である。\(   y\not=0\)のとき、上式両辺を\(  y^3 \)で割って

\( \displaystyle  \frac{y’}{y^3}-\frac{1}{x}y^{-2}=\frac{1}{x} \)…③

とする。ここで\(  z=y^{-2} \)とおくと合成関数の微分法より

\( \displaystyle  z’=-2y^{-3}y’ \)

となる。これも使って③を書き換えると

\( \displaystyle  -\frac{1}{2}z’-\frac{1}{x}z=\frac{1}{x} \)

すなわち

\( \displaystyle  z’+\frac{2}{x}z=-\frac{2}{x} \)

となる。これは線型一階の微分方程式なので積分因子

\( \displaystyle  e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2\log x}=x^2 \)

を両辺にかけて

\( \displaystyle  z’x^2+2xz=2x \)

となる。左辺は積の微分とみなせる。

\( \displaystyle (x^2z)’=-2x \)

両辺積分して

\( \displaystyle  x^2z=-x^2+C \)

すなわち

\( \displaystyle  z=\frac{C-x^2}{x^2}  \)

となる。あとは\(  z=y^{-2} \)から

\( \displaystyle  y=\pm \frac{x}{\sqrt{C-x^2}} \)

を得る。よって一般解は

\( \displaystyle  y=\pm \frac{x}{\sqrt{C-x^2}} \), 定数関数\(  y=0 \)

となる。(終)

関数のおきかえ\(  y^{1-n}=z \)が最大のポイントになると思われ、これさえ思い出せればなんとかなりそうです。

今回はここまでです。また”微分方程式欲”が湧いたときに別パターンを扱います。

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