ベルヌーイ型の微分方程式の解法、z=y^1-nとおく

今回は主に大学で学ぶ内容となります。

 

以前の記事で、線形微分方程式は積の微分をうまくつくるために積分因子 e^{\int P(x)dx} をかければ解ける、ということを扱いました。

 

線型一階微分方程式とその解法

線型一階微分方程式

  \displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) …①

は、両辺に \displaystyle  e^{\int P(x)dx} (積分因子という)をかけると解ける

線型一階型の微分方程式、積分因子をかけて解く – すうがくブログ

 

上の①の形は解けるという知識をつけた上で、今回は少し変わった次のパターンを扱いましょう。

見出しつき囲み

ベルヌーイ型の微分方程式

  \displaystyle  y'+P(x)y=Q(x)y^n …②

①の形の右辺に \displaystyle  y^n がついてしまっているパターンです。 \displaystyle  n=0 のときがちょうど①、 n=1 のときは変数分離形になるので以下では \displaystyle  n\neq 0,1 とします。

ベルヌーイ型の微分方程式②の場合、次のような工夫をすることで線型一階微分方程式①の形することができます。

まず②で \displaystyle  y^n の形をなくすために両辺に \displaystyle  y^{-n} をかけましょう。

  \displaystyle  \frac{y'}{y^n}+P(x)y^{1-n}=Q(x) …②’

ここで y^{1-n}  z とおきます。こうおくことで①の型にうまいことなります。実際、合成関数の微分より

 z=y^{1-n} から \displaystyle  z'=(1-n)y^{-n}y'

となって②’の左辺第一項が登場して非常に都合が良いです。②’をかきかると

  \displaystyle \frac{1}{1-n}z'+P(x)z=Q(x)

と、線型一階微分方程式①の形になります。

 

具体例を1つやっておきましょう。

(問)  \displaystyle  xy'-y=y^3 を解け。

(解)両辺を x で割ると

  \displaystyle  y'-\frac{1}{x}y=\frac{1}{x}y^3

でベルヌーイ型である。そこで上式両辺を y^3 で割って

  \displaystyle  \frac{y'}{y^3}-\frac{1}{x}y^{-2}=\frac{1}{x} …③

とする。ここで z=y^{-2} とおくと合成関数の微分法より

  \displaystyle  z'=-2y^{-3}y'

となる。これも使って③を書き換えると

  \displaystyle  -\frac{1}{2}z'-\frac{1}{x}z=\frac{1}{x}

すなわち

  \displaystyle  z'+\frac{2}{x}z=-\frac{2}{x}

となる。これは線型一階の微分方程式なので積分因子

  \displaystyle  e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2\log x}=x^2

を両辺にかけて

  \displaystyle  z'x^2+2xz=2x

となる。左辺は積の微分とみて

  \displaystyle  (x^2z)'=-2x

である。両辺積分して

  \displaystyle  x^2z=-x^2+C

すなわち

  \displaystyle  z=\frac{C-x^2}{x^2}

となる。あとは \displaystyle  z=y^{-2}から

  \displaystyle  y=\pm \frac{x}{\sqrt{C-x^2}}

を得る。なお、細かいが定数関数  y=0は特殊解になる。(終)

 

 

関数のおきかえ \displaystyle  y^{1-n}=z が最大のポイントになると思われ、これさえ思い出せればなんとかなりそうです。

 

 

今回はここまでです。また”微分方程式欲”が湧いたときに別パターンを扱います。