ひもを垂らしたときにできる曲線、カテナリー

ひもをぶらんと垂らしたときの曲線、図でいうと

こんな感じの赤の曲線を式で求めてみましょう。大学数学の知識が必要ですが、ぜひ雰囲気をお楽しみください。

カテナリー
ひもを垂らしたときにできる曲線は、関数
\(\ \ \displaystyle \ f(x)=\frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2a}\)…(☆)
のグラフである。ただし、対称軸を\(  y \)軸にとり、ひもの”底”が原点に対応するようにする。また、\(  a \)はひもの密度などで定まる定数である。

(証明)求める関数を\(  y=f(x) \)とし、微分方程式を立てよう。区間\(   [x,x+\Delta]\)に対応するひもの一部分を考える。左端の点\(  A \)の座標は\(   (x,f(x))\),右端の点\(  B \)の座標は\(  (x+\Delta, f(x+\Delta)) \)となる。

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点\(  A,B \)にはそれぞれ張力\(  T \)が働いている。張力\(  T \)は位置\(  x \)ごとに定まるひもを引っ張る力である。また、この力の方向と水平方向とのなす角を\(  \theta(x) \)で表す。

ここで、上のひもは静止しているのだから、つり合いの式を作ることができる。まず横方向については\(  A \)を左に引っ張る力と\(  B \)を右に引っ張る力がつり合っているので、

\(\ \   T(x+\Delta x)\cos\theta(x+\Delta x)=T(x)\cos\theta(x) \)…①

となる。一方、縦方向については\(  B \)を上に引っ張る力と、「\(  A \)を下に引っ張る力と、ひもが重力で引っ張られる力をあわせた力」がつり合っているので、

\( \ \  T(x+\Delta x)\sin\theta(x+\Delta)=T(x)\sin\theta (x)+\rho g \sqrt{(\Delta x)^2+\left(f'(x)\Delta x\right)^2} \)…②

となる。ここで\(  \rho \)はひもの密度、\( g  \)は重力加速度であり、\(  A,B \)間のひもの長さは線分\(  AB \)の長さで近似している。

まず①の式から、関数\(  T(x)\cos \theta(x) \)は\(  x \)によらない定数であることがわかる。よって

\( \ \  T(x)\cos\theta(x)=\tau \)(定数)…③

とおくことができる。

②については右辺第一項を左に移項して両辺を\(  \Delta x \)で割れば関数\(  T(x)\sin\theta(x) \)の平均変化率なので\(  \Delta x\to 0 \)として

\(\ \ \displaystyle \frac{d}{dx}\left[T(x)\sin\theta(x)\right]=\rho g \sqrt{1+(f'(x))^2}  \)…④

を得る。

ここで\(  \tan\theta(x)=f'(x) \)と③より、④の左辺に登場する\(   T(x)\sin\theta(x)\)については

\(  \ \ T(x)\sin\theta(x)=T(x)\tan\theta(x)\cos\theta(x)=\tau\tan\theta(x)=\tau f'(x)\)…⑤

となる。④へ⑤の結果を適用すると

\( \ \  f”(x)=\frac{\rho r}{\tau}\sqrt{1+(f'(x))^2} \)

が導かれる。あとはこの微分方程式を解けばよい。簡単のため、定数部分\(  \frac{\rho g}{\tau}=a \)とおき、\(  f’=u \)とおくと\(  u \)についての一階の微分方程式

\(\ \   u’=a\sqrt{u^2+1} \)

を得る。これは変数分離形であり、両辺を\(  \sqrt{u^2+1} \)で割って\(  x \)で積分することで

\(\ \  \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^2+1}}=ax+ \)定数 …⑥

という形になる。\(  \left\{\log(u+\sqrt{u^2+1})\right\}’=\frac{1}{\sqrt{u^2+1}} \)であるので、

\( \ \  \log(u+\sqrt{u^2+1})=ax+b \)

を得る(\(  b \)は定数)。対数の定義から\(  u+\sqrt{u^2+1}=e^{ax+b} \)すなわち

\( \ \  u-e^{ax+b}=\sqrt{u^2+1} \)

となる。両辺を2乗してu について整理すると

\( \ \  f'(x)=u=\frac12(e^{ax+b}-e^{-ax-b}) \)

を得る。これを xで積分すれば

\( \ \  f(x)=\frac{1}{2a}(e^{ax+b}+e^{-ax-b}) \)

となり、\(  f(0)=0 \)だから\(  b=0 \)となり、(⭐︎)が導かれた。(証明終)

この曲線はカテナリーとか、懸垂線とかいいます。また、関数

\(\ \ \displaystyle  \cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}  \)

はハイパボリックコサインといいます。上の結果はこの関数を使って\(  y=\frac{\cosh (ax)}{a} \)と表すこともできますね。

ハイパボリックコサインという響きっていいですよね。「あのコサインが進化したのか…すごそうだ」ぐらいの印象がありますよね。

さぁ、その辺に落ちているひもを持ち上げてハイパボリックコサイン、カテナリーを作りましょう。

では。