線型一階型の微分方程式、積分因子をかけて解く

今回は主に大学で学ぶ内容です。

 

微分方程式いろいろ解けたらかっこいいじゃないですか、ということで今回は変数分離形よりもう少し工夫が必要なパターンの解法をまとめておきます。

線型一階微分方程式とその解法

線型一階微分方程式

  \displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

は、両辺に \displaystyle  e^{\int P(x)dx} (積分因子という)をかけると解ける

 

なぜ解けるかというと、積分因子をかけることで左辺がうまいこと積の微分の形になるからです。実際、上式両辺に \displaystyle  e^{\int P(x)dx} をかけると

  \displaystyle  e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}Q(x)

となり、この左辺がちょうど\displaystyle  e^{\int P(x)dx}\cdot yを微分した形になっています!ということで

  \displaystyle  \frac{d}{dx}\left(e^{\int P(x)dx}y\right)=e^{\int P(x)dx}Q(x)

から両辺を x で積分し、 \displaystyle  y を求めることができます。

二次方程式の解の公式のように、解いた後の yをかくこともできますが、理論的には重要でも、解く上では(覚えにくいので)あまり実用的ではありません。「 yの係数の積分を指数に乗っけたもの(=積分因子)をかける」というポイントだけおさえて、具体例をやってみましょう。

 

(例)  \displaystyle  y'+xy=2x を解く

(解)線型一階微分方程式なので、 y の係数 x の積分を指数に乗っけた積分因子

  \displaystyle  e^{\frac{x^2}{2}}

を両辺にかけてみる。

  \displaystyle  e^{\frac{x^2}{2}}y'+ e^{\frac{x^2}{2}}xy=2 e^{\frac{x^2}{2}}x  

右辺は積の微分法より

  \displaystyle  \frac{d}{dx}\left( e^{\frac{x^2}{2}}y\right)=2 e^{\frac{x^2}{2}}x

となる。両辺を \displaystyle  x で積分すると

  \displaystyle   e^{\frac{x^2}{2}}y=2e^{\frac{x^2}{2}}+C

すなわち

  \displaystyle  y=2+Ce^{-\frac{x^2}{2}}

となる( C は積分定数) 。

 

今後、 \displaystyle  y'+P(x)y の形を見たときに「なんかかけたら積の微分になるんじゃね?」と思いつけるようにして、積分因子のことを思い出せるようにしておきたいですね。

 

では。

 

 

(追記)

(多分)線型1階の次にやるパターンだと思われる、ベルヌーイ型の微分方程式

 \displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^n

の解法はこちらからどうぞ。

ベルヌーイ型の微分方程式の解法、z=y^1-nとおく – すうがくブログ