ネイピア数eが収束すること。

自然対数の底、ネイピア数e

\displaystyle e= \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

が収束することを示します。今回は数列の極限ということで証明します。

 

ネイピア数の収束

数列

\displaystyle a_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

は収束する(この値をe とかく)。

(解)「上に有界な単調増加数列は収束する」という事実を使う。

(ステップ1)数列\{a_n\} が単調増加であることを示す

二項定理で展開して見るとわかる。

\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

  \displaystyle =1+{}_nC_1\cdot 1^{n-1}\cdot \frac{1}{n}+{}_nC_2\cdot 1^{n-2}\cdot \frac{1}{n^2}+\cdots +{}_nC_r\cdot 1^{n-r}\cdot \frac{1}{n^r}+\cdots +{}_nC_n\cdot \frac{1}{n^n}

  \displaystyle =1+1+\sum_{r=2}^{n}\frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}\cdot \frac{1}{n^r}

  \displaystyle =1+1+\sum_{r=2}^{n}\frac{1}{r!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{r-1}{n}\right) …①

ここでn n+1 に取り替えると

\displaystyle a_{n+1}=1+1+\sum_{r=2}^{n+1}\frac{1}{r!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots \left(1-\frac{r-1}{n+1}\right) …②

 ①、②を見比べると 1\leqq i\leqq r-1の各i

 \displaystyle \left(1-\frac{1}{n}\right)\lt \left(1-\frac{1}{n+1}\right) 

 であり、また②の方が項が1つ多いことからa_n\lt a_{n+1} が文句なく成り立つ。すなわち数列\{a_n\} は単調増加する。

 

(ステップ2)数列\{a_n\} が上に有界であることを示す

①で 1\leqq i\leqq r-1の各i \displaystyle  \frac{i}{n} 0 に取り替える。

 \displaystyle a_n=1+1+\sum_{r=2}^{n}\frac{1}{r!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1-\frac{r-1}{n}\right) 

  \displaystyle \lt 1+1+\sum_{r=2}^{n}\frac{1}{r!}

(ここでr\geqq 2 のときr!=r(r-1)\cdots 2\cdot 1\gt 2^{r-1}\cdot 1=2^{r-1}が成り立つから)

  \displaystyle \lt 1+1+\sum_{r=2}^{n}\frac{1}{2^{r-1}}

  \displaystyle \to 1+1+\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac12}=3  \ \ (n\to\infty)

よって任意の na_n\lt 3 が成り立つから数列\{a_n\} は上に有界である。

(ステップ1)および(ステップ2)により、数列\{a_n\} は上に有界な単調増加数列なので収束する。(証明終)

 

二項係数を一般の文字で扱う処理は慣れていないと難しいかもしれませんね。では。