数列の収束条件の言い換え|コーシー列

数列\{a_n\} \alpha へ収束する定義は次の通りでした。

数列の収束の定義

任意の\displaystyle \varepsilon\gt 0 に対し、ある番号\displaystyle  Nがあって、\displaystyle n\gt N となるすべてのn

 |a_n-\alpha|\lt \varepsilon

となる。

大学数学のイプシロン論法、あったほうがいいわ〜と思える例 – 数学と高校教師

 

上の定義は極限値\alpha が前面に出ていますが、次のコーシーの収束条件定理では極限値\alpha の姿を表に出すことなく収束するための条件を与えています。収束するかどうかが知りたいだけの場合にはこちらのほうが役に立つことも多いのです。

 

コーシーの収束条件定理

数列\{a_n\} が収束するための必要十分条件は以下の(条件C)が成り立つことである。

(条件C)任意の\displaystyle \varepsilon \gt 0 に対し、ある番号\displaystyle N があって、\displaystyle m,n \gt N となるすべての番号 m,n

 |a_m-a_n|\lt 0

が成り立つ(この条件を満たす数列をコーシー列という)。

 

なお、証明内で「上に有界で単調に増加する数列は収束する」という事実を用います。

(証明)

数列がある値 \alpha へ収束するときその数列がコーシー列であることは次のようにすぐわかる。

任意の \displaystyle  \varepsilon \gt 0を一つ固定する。数列 \{a_n\}_{n\in N} が収束するとすれば、ある番号 \displaystyle N  があって、任意の \displaystyle  n\gt N となる \displaystyle  n

  \displaystyle  |a_n-\alpha|\lt \frac{\varepsilon}{2}

となっている。よって任意の \displaystyle  m,n\gt N に対して

  \displaystyle  |a_m-a_{n}|\leqq |a_m-\alpha|+|a_n-\alpha|\leqq \varepsilon

が成立するので、収束数列 \{a_n\} はコーシー列である。

 

次に、数列 \{a_n\} をコーシー列と仮定して、これが収束することを次の3つのステップに分けて示す。 

(ステップ1)「有界実数列は収束部分列をもつ」ことを示す

(ステップ2)「コーシー列は有界であること」を示す

(ステップ3)「コーシー列のある部分列 (a_{n(k)})_{k\in N}  \alpha に収束するならば元のコーシー列も \alpha に収束すること」を示す

 

(ステップ1)「有界実数列は収束部分列をもつ」ことを示す

有界実数列 \{a_n\}  M を十分大きくとると任意の番号 n

  |a_n|\leqq M

となる。区間 I_1=[-M,M ]について、 I_1 の右半分と左半分のうち、 \{a_n\} が無数にあるほうを I_2 とする(数列の項は無限にあるから、両方に有限個だということはあり得ない)。さらに I_2 の右半分と左半分を考え、 \{a_n\} が無数にある方を  I_3とする。以下同様に I_4,I_5,\cdots を定める。 I_n=[b_n,c_n ]とおくと、

  \displaystyle  c_n-b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot 2M

により区間の幅 c_n-b_n  n\to\infty のとき \to 0 となる。

区間の定め方から、任意の \displaystyle  n に対し、うまく番号 k(n) を定めて

   a_{k(n)}\in I_n、  k(1)\lt k(2) \lt k(3) \lt\cdots

と部分列 \{a_{n(k)}\}_{k\in N} を作ることができる。  a_{k(n)}\in I_n=[b_n,c_n]により

  \displaystyle  b_n\leqq a_{k(n)}\leqq c_n …①

である。ここで、数列 \displaystyle \{b_n\}は上に有界な単調増加数列、 \{c_n\} は下に有界な単調減少数列であるから、それぞれ収束する。また \displaystyle   c_n-b_n\to0 (n\to\infty)により極限値は等しい。その極限値 \displaystyle  \alpha とすると、①にはさみうちの原理を適用して

  \displaystyle  a_{k(n)}\to \alpha \ \  (n\to \infty)

となる。よって、部分列 \{a_{n(k)}\}_{k\in N} が収束するので(ステップ1)が示された。

 

 続いてステップ2,3に移る。

(ステップ2)「コーシー列は有界であること」を示す

 コーシー列の仮定により、ある番号 \displaystyle  N があって、任意の \displaystyle  n\gt N に対して

  \displaystyle  |a_n-a_N|\lt 1\   すなわち  \displaystyle |a_n|\lt |a_N|+1

とできる。よって \displaystyle  M=\max\{|a_1|, |a_2|, \cdots , |a_{N-1}|, |a_N|+1\}

 とおくと、任意の \displaystyle  n\gt N  \displaystyle  |a_n| \leqq M が成立する。これでコーシー列が有界であること(ステップ2)が示された。

 

(ステップ3)「コーシー列のある部分列 (a_{n(k)})_{k\in N}  \alpha に収束するならば元のコーシー列も \alpha に収束すること」を示す

 \varepsilon \gt 0を一つ固定する。 a_{n} がコーシー列であることから、ある番号 N_1 があって、 n, n(k)\gt N_1 を満たす任意の n,k に対して

  \displaystyle  |a_n-a_{n(k)}|\lt \frac{\varepsilon}{2}

が成立する。また、ステップ3の仮定によりある番号 \displaystyle  N_2 があって、 \displaystyle  k\gt N_2 となる任意の k に対して

  \displaystyle  |a_{n(k)}-\alpha|\lt \frac{\varepsilon}{2}

が成立する。よって N=\max\{N_1, N_2\} とおくと、 n,k\gt N を満たす任意の n,k

  \displaystyle  |a_n-\alpha|\leqq |a_{n}-a_{n(k)}|+|a_{n(k)}-\alpha|\lt \varepsilon

 が成立する。すなわち、コーシー列が \alpha に収束する部分列 \{a_{n(k)}\}_{k\in N} をもつとき、元のコーシー列 \displaystyle  \{a_n\}  \alpha に収束すること(ステップ3)が示された。

 

(ステップ1)〜(ステップ3)で示したことから、任意のコーシー列が収束することが導ける。実際、

(ステップ2)によりコーシー列は有界である。

→(ステップ1)の仮定が満たされるので、コーシー列は収束する部分列をもつ。

→(ステップ3)の仮定が満たされるので、元のコーシー列も収束する。

とすればよい。(証明終)

 

いい練習になりましたー。

 

今回はこの辺で。