【72の法則】10万円が20万円に増えるのは何年後か?

今回の内容の動画版→投資の世界で有名な「72の法則」を数学的に解説

資産運用などの話で「72の法則」というのを聞いたことがあるでしょうか。

72の法則とは、複利計算によって元の2倍金額となるのにかかる年数\(  N \)(年)と年利\(  r \)(%)の間に

\( \ \ \ \displaystyle  rN=72 \)

が成り立つというものです。この関係を使うと、資産が2倍になるまでに必要な年数を簡易的に計算することができます。

(例1)年利が\(  r \)=3%ならば元金が2倍になるのは

\( \ \ \ \displaystyle  N=\frac{72}{3}=24 \)年後

と計算できます。

(例2)年利ではなく先に年数を\(  N \)=10年と決めてもよいです。すなわち「10年で2倍にするにはいくらの年利が必要か?」という計算は

\(\ \ \  \displaystyle  r=\frac{72}{10}=7.2 \)%

とできます。

実際に複利で利息がつく様子を見るためには、電卓を叩くとよいでしょう。電卓で1.03と入れて×を2回押した後に=をどんどん押すと2乗、3乗…の計算ができます。先ほどの(例1)の場合は

1年経過後:\( \displaystyle  10\times (1+0.03)=10.3 \)

2年経過後:\( \displaystyle  10\times (1+0.03)^2=10.609 \)

3年経過後:\( \displaystyle  10\times (1+0.03)^3=10.9272 \)

\( \displaystyle  \vdots \)

23年経過後:\( \displaystyle  10\times (1+0.03)^{23}=19.7358 \)

24年経過後:\( \displaystyle  10\times (1+0.03)^{24}=20.3279 \)

…という具合に先ほどの計算どおり年利が\(  r \)=3 %のときは\(  N \)=24年で約2倍の20万3279円になっていることがわかります。また(例2)についても

1年経過後: \( \displaystyle  10\times (1+0.072)=10.72 \)

2年経過後: \( \displaystyle  10\times (1+0.072)^2=11.4918 \)

3年経過後: \( \displaystyle  10\times (1+0.072)^3=12.3192 \)

\(  \vdots \)

9年経過後: \( \displaystyle  10\times (1+0.072)^9=18.6961 \)

10年経過後: \( \displaystyle  10\times (1+0.072)^{10}=20.0423 \)

金利\(  r \)=7.2パーセントのときに\(  N \)=10年で約2倍の20万0423円となっています。

ではこの72の法則を導いてみましょう。今回は計算の中で近似している部分が多いので(証明)ではなく(導出)としています。

72の法則

年利\(  r \)%が一定のとき、元金が2倍になるまでの年数を\(  N \)とすると、ほぼ

\( \displaystyle  rN=72 \)

が成立する。

(導出)簡単のため、年利は%でなく、いったん小数で表しておくことにする(3%なら\(  r=0.03 \)とする)。

元金\(  A \)、年利\(  r \)のとき\(  N \)年経過後に元金が2倍になったとすると、

\(\ \ \  \displaystyle 2A=A(1+r)^N \)

が成立する。両辺を\( A  \)で割り、対数を取れば

\( \ \ \ \displaystyle \log 2 =N\log(1+r) \) …①

ここで右辺の\(   \log \)のマクローリン展開を思い出す(そんなの覚えてないよ!って思わなくても大丈夫。次のように導けばよい)。\(  -1<r<1 \)のとき、次の無限等比級数の式

\(\ \ \  \displaystyle \frac{1}{1+r}=1-r+r^2-r^3+r^4-\cdots  \)

で両辺を\(  x \)で積分すれば

\( \ \ \ \displaystyle \log(1+r)=r-\frac12r^2+\frac13r^3-\frac14r^4+\cdots \)

となる。よって\(  \log(1+r) \)は

\(\ \ \  \displaystyle r-\frac{r^2}{2}\lt \log(1+r)\lt r \)…②

と評価できる。②の両辺に\(  N \)をかけて式①を使うと

\(\ \ \  \displaystyle Nr-\frac{N}{2}r^2\lt \log2 \lt Nr \)

すなわち

\(\ \ \  \displaystyle \log2\lt Nr \lt \log2+\frac{N}{2}r^2 \)…③

を得る(目標の\(  Nr \)が登場した!)。ここでもう少し厳しく評価を行うため、③の中辺と右辺との評価を再び使って

\(\ \ \  \displaystyle Nr\lt \log2+\frac{Nr}{2}r \lt \log2 +\frac{\log2}{2}r+\frac{N}{4}r^3 \) …④

を得る。

さて、④の右辺を実用上考えられる数値で評価しよう。資産運用の話であるから長くても\(  N \)は50年程度、また年利も高々10%程度としてよいだろう(年利が10%以上になる投資はかなりリスクが高い)。ということで④の右辺を\(  N-50, r=0.1 \)として評価し、これに③の左辺と中辺の評価を合わせ、さらに\(  \log 2=0.6931 \)を使うと

\(\ \displaystyle 0.6931\lt Nr \!\lt\! 0.6931\!+\!\frac{0.6931}{2}\!\times\! 0.1\!+\!\frac{50}{4}\!\times\! (0.1)^3=0.7402 \)

となる(上式は横スクロールします)。\(  r \)を%で表示すれば

\( \ \ \ \displaystyle 69.31\lt Nr \lt 74.02 \)

を得る。この間の数字なら何でもよいのであるが、区間の真ん中にも近いし、また約数が多いという実用上の理由も考慮して\(  Nr=72 \)を採用することにすれば都合がよいだろう。(導出終)

では、今回はこの辺で。

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