10万円が20万円に増えるのは何年後か?| 72の法則

資産運用などの話で「72の法則」というのを聞いたことがあるでしょうか。

 

これは、複利計算によって元の2倍金額となるのにかかる年数\displaystyle N (年)と年利\displaystyle r (%)の間に

 \displaystyle rN=72

という関係があるというものです。この関係を使うと、次のような計算を行うことができます。

 

(例1)年利が\displaystyle r= 3%ならば元金が2倍になるのは

 \displaystyle N=\frac{72}{3}=24年後

と計算できます。

 

(例2)年利ではなく先に年数を\displaystyle N= 10年と決めてもよいです。すなわち「10年で2倍にするにはいくらの年利が必要か?」という計算は

 \displaystyle r=\frac{72}{10}=7.2 %

とできます。

 

 複利で利息がつく様子を見るためには、電卓を叩くとよいです。電卓で1.03と入れて×を2回押した後に=をどんどん押すと2乗、3乗…の計算ができます。先ほどの(例1)の場合は

1年経過後: \displaystyle 10\times (1+0.03)=10.3

2年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^2=10.609

3年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^3=10.9272

4年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^4=11.2550

5年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^5=11.5927

6年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^6=11.9405

7年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^7=12.2987

8年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^8=12.6677

9年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^9=13.0477

10年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{10}=13.4391

11年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{11}=13.8423

12年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{12}=14.2576

13年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{13}=14.6853

14年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{14}=15.1258

15年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{15}=15.5796

16年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{16}=16.0470

17年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{17}=16.5284

18年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{18}=17.0243

19年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{19}=17.5350

20年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{20}=18.0611

21年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{21}=18.6029

22年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{22}=19.1610

23年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{23}=19.7358

24年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.03)^{24}=20.3279

…という具合に先ほどの計算どおり年利が\displaystyle r=3 %のときは\displaystyle N=24 年で約2倍の20万3279円になっていることがわかります。また(例2)についても

1年経過後: \displaystyle 10\times (1+0.072)=10.72

2年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^2=11.4918

3年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^3=12.3192

4年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^4=13.2062

5年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^5=14.1570

6年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^6=15.1763

7年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^7=16.2690

8年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^8=17.4404

9年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^9=18.6961

10年経過後:\displaystyle 10\times(1+0.072)^{10}=20.0423

金利\displaystyle r=7.2 %のときに\displaystyle N=10 年で約2倍の20万0423円となっています。

 

 ではこの72の法則を導いてみましょう。今回は計算の中で近似している部分が多いので(証明)ではなく(導出)としています。

72の法則

年利\displaystyle  r %、元金が2倍になるまでの年数を\displaystyle N とすると、だいたい

 \displaystyle rN=72

が成立する。

(導出)

簡単のため、年利は%でなく、いったん小数で表しておくことにする(\displaystyle r が3%なら\displaystyle r=0.03 とする)。

 

元金\displaystyle A 、年利\displaystyle r のとき\displaystyle N 年経過後に元金が2倍になったとすると、

 \displaystyle 2A=A(1+r)^N

が成立する。両辺を\displaystyle A で割り、対数を取れば

 \displaystyle \log 2 =N\log(1+r) …①

ここで右辺の\displaystyle  \logのマクローリン展開を思い出す(そんなの覚えてないよ!って思わなくても大丈夫。次のように導けばよい)。\displaystyle -1\lt r\lt 1 で成り立つ無限級数

 \displaystyle \frac{1}{1+r}=1-r+r^2-r^3+r^4-\cdots

で両辺を\displaystyle x で積分すれば

 \displaystyle \log(1+r)=r-\frac12r^2+\frac13r^3-\frac14r^4+\cdots

となる。よって\displaystyle \log(1+r)

 \displaystyle r-\frac{r^2}{2}\lt \log(1+r)\lt r …②

と評価できる。②の両辺に\displaystyle N をかけて式①を使うと

 \displaystyle Nr-\frac{N}{2}r^2\lt \log2 \lt Nr

すなわち

 \displaystyle \log2\lt Nr \lt \log2+\frac{N}{2}r^2 …③

を得る(目標の\displaystyle Nr が登場した!)。ここでもう少し厳しく評価を行うため、③の中辺と右辺との評価を再び使って

 \displaystyle Nr\lt \log2+\frac{Nr}{2}r\lt \log2 +\frac{\log2}{2}r+\frac{N}{4}r^3   …④

を得る。

 さて、④の右辺を実用上考えられる数値で評価しよう。資産運用の話であるから長くても\displaystyle N \displaystyle 50 年程度、また年利も高々\displaystyle 10 %程度としてよいだろう(今どき10%の投資はハイリスクなものしかないだろう)。ということで④の右辺を\displaystyle N=50, r=0.1 として評価し、これに③の左辺と中辺の評価を合わせ、さらに\displaystyle \log2=0.6931 を使うと

 \displaystyle 0.6931\lt Nr\lt 0.6931+\frac{0.6931}{2}\times 0.1+\frac{50}{4}\times (0.1)^3=0.7402

となる。\displaystyle r を%で表示すれば

 \displaystyle 69.31\lt Nr \lt 74.02

を得る。この間の数字なら何でもよいのであるが、区間の真ん中にも近いし、また約数が多いという実用上の理由も考慮して\displaystyle Nr=72 を採用することにすれば都合がよいだろう。(導出終)

 

導く過程で\displaystyle \log(1+r)\fallingdotseq r ぐらいの評価でよいか迷いましたが、きちんと両側から評価したほうが72がでる合理性が分かって気持ちいいですね。

 

では、今回はこの辺で。