点と直線の距離公式をベクトルを使って導く

今回は数学2の教科書に載っているこれ。

 

点と直線の距離

\displaystyle P(x_1,y_1) と直線\displaystyle ax+by+c=0 の距離\displaystyle d

 \displaystyle d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

で与えられる。

座標による証明の場合にはまず直線を平行移動して…とかから始まりますが、ベクトルの場合には必要な位置ベクトルを設定して見通しよく\displaystyle  dを求めることができます。

 

(証明)

\displaystyle P から直線\displaystyle l に下ろした垂線の足を\displaystyle P_0 とし、点\displaystyle P,P_0 の位置ベクトルをそれぞれ\displaystyle \vec{x_1},\vec{x_0} とする。また、直線\displaystyle  lの法線ベクトルを\displaystyle \vec{n} とする。

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 \displaystyle \vec{x_1}-\vec{x_0} \displaystyle \vec{n} と平行なので

  \displaystyle \vec{x_1}-\vec{x_0}=t\vec{n} …①

となる\displaystyle t が存在する。いま我々が知りたいのはこの右辺のベクトルの大きさ\displaystyle d=|t\vec{n}| であることに注意しよう。その目的のためには\displaystyle t を求めなくてはならない。①の両辺に\displaystyle \vec{n} との内積をとってみよう。\displaystyle \vec{x_0} \displaystyle l 上の点だから\displaystyle \vec{n}\cdot\vec{x_0}=-c となることから

 \displaystyle \vec{n}\cdot \vec{x_1}-c=t|\vec{n}|^2

すなわち

 \displaystyle t=\frac{\vec{n}\cdot \vec{x_1}+c}{|\vec{n}|^2}

となる。よって

 \displaystyle d=|t\vec{n}|=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{x_1}+c|}{|\vec{n}|^2}|\vec{n}|

  \displaystyle =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{x_1}+c|}{|\vec{n}|} =\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

となり、目標の公式を得る。(証明終)

 

数学Bの教科書の研究のページに同様の内容があるのですが、最後までベクトル使えばいいのに、なぜか途中から座標に戻してるんですよね。その説明だと文字がごちゃごちゃしてキレイではなく、読む気すらしません。

 

今回はこの辺で。