曲線を円で近似する|曲率半径の話

今回は、曲線の曲がり具合についての話です。接線の傾きを使うよりも、より詳細な方法として円で近似する作戦でいきたいと思います。

\displaystyle y=x^3 上の点\displaystyle (1,1) で円で近似すると次のような感じです。

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\displaystyle (1,1) の付近で赤の曲線\displaystyle y=x^3 を青の円で近似していることがわかります。もう少し引きでみると次の通り。

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では、与えられた関数\displaystyle y=f(x) (上の例でいうと\displaystyle f(x)=x^3 )に対して、中心\displaystyle (a,b) 半径\displaystyle R の円

 \displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=R^2

での近似を考えたとき,\displaystyle a,b,R \displaystyle f(x) の情報で表すことを考えます。近似している点では\displaystyle y=f(x) と円の方程式について、2回微分まで一致しているという前提で計算をしていきます。

 

曲率中心、曲率半径

\displaystyle y=f(x) を点\displaystyle (c,f(c)) 上で近似する円の中心\displaystyle (a,b) 、半径\displaystyle R は次のように計算できる。ただし\displaystyle f''(c)\neq 0 とする。

 \displaystyle a=c-\frac{1+f'(c)^2}{f''(c)}f'(c)

 \displaystyle b=f(c)+\frac{1+f'(c)^2}{f''(c)}

 \displaystyle R=\frac{(1+f'(c)^2)^{\frac32}}{|f''(c)|}

なお、\displaystyle (a,b) を曲率中心、\displaystyle R を曲率半径、その逆数\displaystyle \frac{1}{R} を曲率という。

(証明)

円の方程式

 \displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 …⓪

\displaystyle x で微分すると、

 \displaystyle (x-a)+(y-b)y'=0  …①

となる。もう一度微分して

 \displaystyle 1+y'^2+(y-b)y''=0 …②

となる(積の微分)。

円の上半分あるいは下半分を表す曲線を\displaystyle y=g(x) とするとき,①、②へ\displaystyle x=c を代入して

 \displaystyle (c-a)+(g(c)-b)g'(c)=0  …①’

 \displaystyle 1+g'(c)^2+(g(c)-b)g''(c)=0 …②’

①’×\displaystyle g''(c)- ②’×\displaystyle g'(c) により

 \displaystyle (c-a)g''(c)-(1+g'(c)^2)g'(c)=0

これを変形すると

 \displaystyle a-c=-\frac{1+g'(c)^2}{g''(c)}g'(c)  …(A)

となる。また、②’から

 \displaystyle b-g(c)=\frac{1+g'(c)^2}{g''(c)} …(B)

となる。(A)、(B)と円の方程式⓪により、

 \displaystyle R^2=(a-c)^2+(b-g(c))^2

  \displaystyle =\frac{1}{g''(c)^2}\left(1+g'(c)^2\right)^2(g'(c)^2+1)

  \displaystyle =\frac{(1+g'(c))^{\frac32}}{g''(c)} …(C)

ここで、\displaystyle x=c においては

 \displaystyle f(c)=g(c), f'(c)=g'(c), f''(c)=g''(c)

が成立していると考えられるので、(A)〜(C)で\displaystyle g,g',g'' をそれぞれ\displaystyle f,f',f'' に取り替えてよい。これで目標の式が導けた。(証明終)

 

さて、今求めた公式から、先ほどの\displaystyle f(x)=x^3 上の点\displaystyle (1,1) での曲率中心、曲率半径を計算してみましょう。

\displaystyle f'(x)=3x^2, f''(x)=6x であることから、曲率中心(の座標)は

 \displaystyle a=1-\frac{1+3^2}{6}\cdot 3 =-4

 \displaystyle b=1+\frac{1+3^2}{6}=\frac{8}{3}

曲率半径は

 \displaystyle R=\frac{\left(1+3^2\right)^{\frac32}}{|6|}=\frac{5\sqrt{10}}{3}  

などと求まります。このようにして青色の円の情報が求められるのです。

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曲率半径は高速道路の道路標識にもたまーについています。

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曲率半径が小さいのは曲がり具合が急であることに対応します。上の道路標識(ブログ主作成)は曲率半径Rが300mのカーブがこの先にあることを示しています。Rが小さいほどより注意が必要ということですね。

 

では今回はこの辺で。