サンプリング定理の魅力をどう説明するか

サンプリング定理を説明できる教師になりたいとあこがれたので、かいておくことにしました。

サンプリング定理
\(  F \)は関数\(  f \)のフーリエ変換で

\(\ \   F(x)=0\ \ x\notin (-A,A) \)…①

を満たすものとする。このとき\(  R \)を十分小さくとれば、

\( \ \ \displaystyle F(\xi)=\frac{R}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nR)e^{-inR\xi}  \)…②

が成り立つ。

フーリエ変換はまだしも、超関数の理論とかを必要とするので、この記事で証明までは無理ぽいです(いつか準備が整ったらちゃんとやりたい)。今回は定理の意義について、高校生へ説明するつもりでまとめます。

まず①についてはフーリエ変換が周波数を表すものであることを納得していただきたい。元の関数\(  f \)に高い音がたくさん含まれていればいるほど、すなわち\(  f \)が上下に激しく振動していればしているほど、そのフーリエ変換\(  F \)は原点から離れたところで大きくなります。

ここで、人間の1秒間に2万回以上の揺れの音は高すぎて通常人間の耳に聞こえないとされています。いわゆる超音波です。そこで、

「人間の耳に聞こえない音なんだからカットしてもいいよね?」

ということで、周波数の高い音をカット、すなわち\(  F \)に関してある程度原点から離れた部分に関しては強制的に値をゼロにする、ということで①を成り立たせるようにすることができます。これは②を成り立たせるために必要なことです。デジタルは原理的にアナログを”近似する”ことしかできないので、どこかで割り切ってデータを減らしたり荒くしたりする必要があるのです。それを人間に感じにくいところ(今回の場合は高い周波数の音)で行うことで、データが”劣化”していないように感じさせる工夫をしているのです(フーリエ変換自体の概要がわかる授業のやり方とか記事もいつか作って見たいっすね)。

次に②については\(  R \)を適切に小さくして離散データ\( \{f(nR)\}_{n\in Z}  \)を集めると元の関数\(  f \)のフーリエ変換\(   F\)が求められることを表しています。\(  F \)が分かればそれに逆フーリエ変換を行うことでもとの関数\(  f \)を求めることができますから、結局

ポツポツの離散データ\( \{f(nR)\}_{n\in Z}  \)から関数\(  f \)が復元できる!

ということを表しています。離散データ\( \{f(nR)\}_{n\in Z}  \)は元データ\(   f\)のサンプリングに相当します。これはかなりエキサイティングな結果です。いうなれば、

・犯人が目撃された数カ所の情報から移動経路を推測する

・一部しか見ることができない状態の絵を見て何が描かれたものか推測する

・優秀な生徒であれば、50分間の授業のうち1分起きて4分寝るを10サイクル繰り返しても授業内容を完全に理解できるか

…みたいな話ですよ。ただしこれら日常的な例はあくまで推測の域を超えないのに対し、②の場合は完全に\(  f \)を求めることができているんです。

今回はサンプリング定理の紹介を証明なしで行いました。いろいろと記事を書きながら準備をしていつか証明もまとめたいです。

今回はこの辺で。