「円の面積」の微分が「円周」になるのはなぜか?

微分の定義を知っている人向けの話です。

 

円の面積、円周の長さおよび球の体積、表面積は次のように計算できます。

 

円の面積、円周の長さ

半径r の円の面積は\pi r^2  

半径r の円の円周の長さは2\pi r  ( \piの定義より)

\pi の定義は「直径に対する円周の比」ですから、直径2r の円の円周は2\pi r になります。

 

球の体積、表面積

半径r の球の体積は\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3

半径 rの球の表面積は\displaystyle 4\pi r^2

 

「円の面積」および「球の体積」をそれぞれ半径r の関数だと考えると、

・「円の面積\pi r^2 」を微分すると「円周の長さ2\pi r 」に

・「球の体積\displaystyle \frac43\pi r^3 」を微分すると「球の表面積\displaystyle 4\pi r^2 」に

なっていることがわかります。今回はこれがなぜなのか、面積や体積の意味に立ち返って確かめてみたいと思います。

 

半径r の円の面積をS(r) とします。もちろんS(r)=\pi r^2 となるのですが、ここではこの公式を使わずに話をすすめます。

S(r) を微分することを考えましょう。微分というのは

 \displaystyle \frac{S(r+h)-S(r)}{h}

\displaystyle h\to 0 のときの極限のことでした。ここで\displaystyle S(r+h)-S(r)は半径 r+hの円の面積と半径\displaystyle r の円の面積の差を表すことに注意しましょう(下図のドーナツの部分の面積に相当します)。

この図形を粘土のように連続的に地面に広げて左右から評価します。\displaystyle S(r+h)-S(r)

・(半径 rの円周の長さ) \displaystyle\times\,  h 以上で、かつ

・(半径r+h の円周の長さ)\displaystyle \times\,  h 以下

ですから、

 \displaystyle 2\pi r \cdot h\leqq S(r+h)-S(r)\leqq 2\pi (r+h)\cdot h

となり、両辺をh \gt 0で割れば

 \displaystyle 2\pi r \leqq \frac{S(r+h)-S(r)}{h}\leqq 2\pi(r+h)

となります。\displaystyle h\to 0 のとき

 \displaystyle 2\pi r \leqq S'(r)\leqq 2\pi r

より\displaystyle S'(r)=2\pi r となります(はさみうちの原理)。すなわち、円の面積の関数 S(r)は微分すると円周になるわけです。

 

このことから、円の面積は円周2\pi r の積分\int 2\pi r dr =\pi r^2 と計算できるのです。円周の定義だけから円の面積が\pi r^2 となることが導かれるんですね。

 

では今度は、同じ”ノリ”で球の体積V(r)を微分してみます。\displaystyle V(r+h)-V(r) は球の体積の差であることに注意しましょう(下図の表面の”厚みのある皮部分”の体積に相当します)。

この領域を粘土のように連続的に変形して、床に広げることで次のような評価ができます。

 (半径 rの球の表面積)\cdot h \displaystyle \leqq V(r+h)-V(r) \leqq (半径 r+hの球の表面積) \cdot h

両辺を h\gt 0で割ると

(半径 rの球の表面積)\displaystyle \leqq \frac{V(r+h)-V(r)}{h} \leqq (半径 r+hの球の表面積)

となり、h\to 0 として

(半径 rの球の表面積) \displaystyle \leqq V'(r) \leqq (半径 r の表面積)

すなわち

 球の体積\displaystyle V(r) を微分すると表面積になる

ということがわかります。

 

このことから、球の体積か球の表面積のいずれかを知っていればもう片方は計算できることになります。

例えば球の体積の公式を忘れてしまった!という場合は、表面積\displaystyle 4\pi r^2 を積分して\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3 と導くことができます。両方忘れてしまった場合は球の断面図を積分するというオーソドックスな方法をすることになるでしょう。

 

では。