式変形チャンネル 動画一覧

大きいのはどっち？

\( \displaystyle  \frac{12345}{20190412} \) 　\( \displaystyle  \frac{12346}{20190413} \)

コメント欄、大変勉強になりました．(19/4/12up)

次の式を計算せよ．

\( \displaystyle  4\times 4\times 3.34-33.4\times 0.75+0.167\times 30 \)

(19/4/10up)

\( \displaystyle  P=2^{320}+2320 \)

が56の倍数であることを示せ．(19/4/6)

次を満たす正の数\( \displaystyle  x,y,z \)を求めよ．

\( \displaystyle  \begin{cases}x(y+z)=25\\y(z+x)=16\\z(x+y)=21\end{cases} \)

(19/4/5up)

この日はとあるアイドルの方の誕生日だったようです．(19/3/23up)

一番大きいのはどれ？

\( \displaystyle  \sqrt3,\ \ \sqrt[3]{5},\ \ \sqrt[4]{10} \)

ふつうの方法で比較します．(19/3/21up)

\( \displaystyle  \sqrt{n^2+23} \)

が整数となるような自然数\( \displaystyle  n \)は？

当初は自然数という条件を表記していなかったのでいろいろと議論となった動画です．(19/3/17up)

解説がまったく1分で収まってない動画です．(19/3/17up)

\( \displaystyle  f(x)=x^2+4x+2 \)とする．

方程式\( \displaystyle  f(f(f(x)))=0 \)の実数解を求めよ．

(19/3/14up)

\( \displaystyle   \sqrt{111556}\)

を変態的な式変形で計算しました．(19/3/14up)

大きいのはどっち？

\( \displaystyle  333\times 444 \ \ 222\times 667\)

(19/3/11up)

うまく処理してみてください。(19/5/30up)

直角に注目すれば… (19/5/29up)

同じ弧の大きさということから… (19/5/28up)

単純な図形ですが、どうでしょう。(19/5/27up)

最初の1手は大体きまっていますが…(19/5/25up)

対角線ですから…(19/5/25up)

合計がわかればよいので…(19/5/23)

単純な問題ですが，ちょっと考えるかもしれません．(19/5/22up)

一回計算ミスしたので再アップした動画です.(19/5/22up)

Eに注目したくなります…(19/5/20up)

筒を輪ゴムで束ねた感じですね．(19/5/19up)

等積変形など使える変形はどんどん使いましょう．(19/5/14up)

同じ面積をもつ場所がないかなど考えましょう．(19/5/14up)

求まると気持ちいいです．(19/5/13)

見方を柔軟にするとスグわかります．(19/5/9up)

直感と計算結果が同じでしょうか．(19/4/7up)

弧の比をどう処理するかが大切です．(19/3/31up)

うまく処理しましょう．(19/3/26up)

いい問題です．(19/3/24up)

普通に計算です．(19/3/21up)

まずトゲトゲを処理しましょう．(19/3/19up)

解法が面白すぎる！(19/3/14up)

合計がわかればよいので…(19/3/12up)

(19/3/10up)

うまく処理していきましょう．(19/3/10up)

算額とかでありそう．(19/3/9up)

定規は使ってOKですが長さをはかったり，角度をはかったりするのはダメとします．(19/3/8up)

曲線\( \displaystyle  y=\cos x \) \( \displaystyle \left( 0≦x≦\frac{\pi}{2} \right)\)と\( \displaystyle  x \)軸，\( \displaystyle  y \)軸で囲まれる領域の面積を，\( \displaystyle  y=a\sin x \)が2等分するような正の定数\( \displaystyle  a \)の値を求めよ．(19/6/8up)

3つの定積分漸化式を導く．

\( \displaystyle \gamma_n=\int_{0}^{1}x^ne^{-x}dx \)

\( \displaystyle  I(m,n)=\int_{0}^{1}x^m(1-x)^{n}dx \)

\( \displaystyle  I_n=\int_{0}^{\pi}\sin^nxdx \)

(19/6/7up)

\( \displaystyle  I=\int_{0}^{n\pi}\left|\sin x+\cos x\right|dx \)の計算．(19/6/3up)

(1) \( \displaystyle  m,n \)を整数とするとき

\( \displaystyle  I=\int_{0}^{\pi}\sin mx\sin nx dx \)

を計算せよ．

(2) 自然数\( \displaystyle  n \)に対し

\( \displaystyle  f_n(x)=\sin x+\sin 2x+\cdots +\sin nx \)

とおくとき，次の積分を計算せよ．

\( \displaystyle  J=\int_{0}^{\pi}\left\{f_n(x)\right\}^2 \)dx

(19/5/30up)

\( \displaystyle  f(x)=\int_{0}^{1}|t^2-x|dt \) \( \displaystyle  (0<x<1) \)

の最小値を求めよ．(19/5/29up)

(1) \( \displaystyle  x>0 \)のとき次を示せ．

\( \displaystyle  x-x^2<\log (x+1)< x \)

(2) 自然数\( \displaystyle  n \)に対し

\( \displaystyle A_n=\left(1\!+\!\frac{1}{n^2}\right)\!\left(1\!+\!\frac{2}{n^2}\right)\!\left(1\!+\!\frac{3}{n^2}\cdots\right)\)

\( \displaystyle  \hspace{9em}\cdots\!\left(1\!+\!\frac{n}{n^2}\right) \)

と定める．\( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}A_n \)を求めよ．(19/5/27up)

有名問題です．(19/5/26up)

\( \displaystyle  n \)を3以上の整数とする．辺の長さの和が\( \displaystyle  2\pi \)である正\( \displaystyle  n \)角形の面積を\( \displaystyle  S_n \)とする．

(1) \( \displaystyle  S_n \)を\( \displaystyle  n \)の式で表せ．

(2) \( \displaystyle  S_{n+1}>S_n \)を示せ．

(3) \( \displaystyle  \lim_{n\to \infty} S_n \)を求めよ．

(19/5/26up)

\( \displaystyle  n \)を自然数とする．すべての正の数\( \displaystyle  x \)に対して

\( \displaystyle  \log x+\frac{a}{x^n} >0\)

が成立するための実数\( \displaystyle  a \)の値の範囲を\( \displaystyle  n \)を用いて表せ．

(19/5/23up)

微分可能な関数\( \displaystyle  f(x) \)が次の2条件を満たすとする．

・任意の\( \displaystyle  x,y \)で

\( \displaystyle  f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy \)

・\( \displaystyle  f'(0)=1 \)

このとき，次のものを求めよ．

(1) \( \displaystyle  f(0) \)  (2) \( \displaystyle  f'(x) \)

(19/5/23up)

\( \displaystyle  x+y+z=\pi, x>0, y>0, z>0 \)のとき

\( \displaystyle  \sin x\sin y\sin z \)

の最大値と，最大値を与える\( \displaystyle  x,y,z \)の値を求めよ．

実質2変数関数の最大値ですので，予選決勝法を使って示しました．(19/5/21up)

関数

\( \displaystyle f(x)=\frac{x^2+k}{e^x}  \)

が極小値をもつための\( \displaystyle  k \)の条件を求めよ．(19/5/18up)

次の極限を求めよ．

(1) \( \displaystyle  \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x+1}\right)^x \)

(2) \( \displaystyle  \lim_{x\to 0} (1-2x)^{\frac{1}{x}}\)

(19/5/14up)

\( \displaystyle  k \)を正の定数とする．曲線\( \displaystyle  y=\cos kx \)と3直線\( \displaystyle  x=-\theta, \)\( \displaystyle  x=0,  \)\( \displaystyle  x=\theta \) (\( \displaystyle  0<\theta<\frac{2\pi}{k} \))との交点を通る円の中心を\( \displaystyle  \text{P} \)とする．\( \displaystyle  \theta \) が\( \displaystyle  0 \)に近づいていくとき，\( \displaystyle  \text{P} \)はどのような点に近づくか．

(19/5/11up)

次の数列の極限を求めよ．

(1) \( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+3n}{2^n} \)

(2) \( \displaystyle  \lim_{n\to \infty}\frac{3^n}{n!} \)

(19/5/8up)

\( \displaystyle  f(x) \)を偶関数とするとき

\( \displaystyle  \int_{R}^{R}\frac{f(x)}{a^x+1}dx=\int_{0}^{R}f(x)dx \)

が成立する．(19/6/6up)

平行線の中に\( \displaystyle  a, b \)の調和平均の半分\( \displaystyle  \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^{-1} \)が現れている．(19/6/5up)

\( \displaystyle  \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}=0 \)を示す．積分区間を\( \displaystyle  \sqrt{x} \)で分けるのがコツ．ロピタルの定理でもOK.(19/5/31up)

関数\( \displaystyle  f(x) \)が区間\( \displaystyle  I \)で増加するということの定義、正確にいうことができますか？定義をしっかりとおさえる重要性が感じられる話題です．(19/5/21up)

\( \displaystyle  0<\theta<\frac{\pi}{2} \)とする．

\( \displaystyle  \sin\theta<\theta<\tan\theta \)を利用して

\( \displaystyle  \frac{1}{\sin\theta}-\frac{1}{\theta}<1 \)を示せ．

簡単そうに見えますが…(19/5/18up)

昔から何度も聞いているネタですがYouTubeで計算をしている人があまりいなかったのでやってみました．結果を覚えているよりもその導く過程が大事ですね．(19/5/15up)

先にスタートとゴールが決められたくじをどのように構成するのか、その具体的な手順です．意外にもネット上で解説されているものが見つからなかったので解説してみました．(19/5/14up)

数学Aで時間が余ったときに使えるネタです．なかなか手強い．(19/5/12)

3つのコイン袋A, B, Cのうち，1つの袋だけ偽物のコインからなるとする．本物のコインが1枚10g, 偽物のコインが1枚9gであるとき，重さが計測できるはかりを1回だけ使って偽物の袋を見つけるにはどうすればよいか．

視聴者さんからオススメされた漫画を読んでみました．(19/5/12)

等比数列の和公式を使った実用的な公式を導きます．(19/5/12up)

\( \displaystyle  1+2+3+\cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1) \)

\( \displaystyle  1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2\)

\( \displaystyle  \hspace{7em}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \)

を図形的に導きます．(19/5/9)

\( \displaystyle  a>1 \)のとき

\( \displaystyle  \frac{n}{a^n}\to 0 (n\to \infty) \)

を示します．(19/4/13up)

\( \displaystyle  \sqrt{6-\sqrt{49-\sqrt{192}}} \)を簡単にせよ．

(19/4/10up)

ある製品を製造する工場A, Bがあり，Aの製品には3%，Bの製品には4%の不良品が含まれている．Aの製品とBの製品を，4:5の割合で混ぜた大量の製品の中から1個を取り出すとき，次の確率を求めよ．

(1) それが不良品である確率

(2) 不良品であったときに，それがAの製品である確率

図を使ってまとめ，図から確率を計算する方法を述べました．参考書とかのように文字ベースで導くやり方は私にはできません．(19/4/8up)

チェック・デジットについての話です．(19/4/5up)

図形をみて初期設定がすんだらあとは機械的な計算をやればOKというベクトルの雰囲気を語りました．(19/4/3up)

\( \displaystyle  a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{n}-\log n \)とおく．

(1) 自然数\( \displaystyle  n \)に対し\( \displaystyle  a_n>0 \)を示せ．

(2) 数列\( \displaystyle  \{a_n\} \)は単調減少であることを示せ．

負の数同士の積が正になることの説明など．(19/4/3)up

偶数なら次の項は半分に，奇数なら次の項は3倍して1を足すというルールで作られるのがコラッツ数列です．「どんな初項からはじめても，コラッツ数列はいつか1に達する」というコラッツ予想は証明ができていない未解決問題です．(19/4/2up)

三平方の定理を編集を入れて証明してみました．(19/4/1up)

はじめての生徒にはこんな感じで概要を教えるかも．実際に接線の傾きを読み取らせるのが大事な気がしています．(19/3/30up)

もちろん背理法です．(19/3/29up)

編集を使うのにハマり始めたころです．(19/3/28up)

三平方の定理を繰り返し使います．(19/3/28up)

格子多角形の面積を一瞬で計算する公式の利用の仕方と，なぜ成り立つのかを直感的に解説．(19/3/26up)

次の問に答えよ．

\( \displaystyle  z=a+bi, w=c+di \) (\( \displaystyle  a,b,c,d \)は実数，\( \displaystyle  i \)は虚数単位)のとき，\( \displaystyle  |z|^2|w|^2=|zw|^2 \)を示せ．

(2) \( \displaystyle  58\times 136 \)を平方数の和で表せ．

(19/3/24up)

順番をぐちゃぐちゃにした紙の並びを，機械的な処理でもとの順番に並び替える手品！(19/3/23up)

初等的にやるには巧みな補助線が必要です．(19/3/21)

パスタを図るグッズの穴の半径に平方根の考えが使われているという話です．(19/3/20up)

レピュニット素数が無限にあるかどうかは未解決です．(19/3/18up)

誘導が面白い！(19/3/14up)

苦手な生徒を想定した導入方法です．知っているもので置き換えるとわかりやすいかもです．(19/3/14up)

数値計算で使われるニュートン法の，

\( \displaystyle  x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_{n})} \)

という形の漸化式を導きます．(19/3/11up)

\( \displaystyle  \frac{\sin\theta-1}{\cos\theta-\sqrt3} \)

の最大値最小値について

(1) 微分法による解答を示せ．

(2) 微分法以外の分野で指導する場合の解答を示せ．

(19/3/10up)

\( \displaystyle  f(x)=x^ne^{-x} \)とする．

(1) \( \displaystyle  x≧0 \)での\( \displaystyle  f(x) \)の最大値を求めよ．

(2) \( \displaystyle  n≧2 \)のとき，

\( \displaystyle  \left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e< \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n \)

を示せ．

(19/3/12up)

\( \displaystyle  \log_{10}2=0.3010, \log_{10}3=0.4771 \)とする．

(1) \( \displaystyle  \log_{10}15 \)を求めよ．

(2) \( \displaystyle  12^{40} \)は何桁か

(19/3/6up)

妹シリーズ3作目です．(19/3/3up)

\( \displaystyle  p \)は素数，\( \displaystyle  a \)と\( \displaystyle  p \)は違いに素な自然数とする．

(1) \( \displaystyle  a, 2a, 3a, \cdots , (p-1)a \)を\( \displaystyle  p \)で割った余りはすべて異なることを示せ．

(2) \( \displaystyle  a^{p-1} \)は\( \displaystyle  p \)の倍数であることを示せ．

(3) \( \displaystyle  2018^{1800} \)を\( \displaystyle  181 \)で割った余りを求めよ．

(19/3/3up)

点\( \displaystyle  \text{P} \)から放物線\( \displaystyle  y=x^2 \)へ2本の接線がひけるとき，2つの接点を\( \displaystyle  \text{A}, \text{B} \)とし，線分\( \displaystyle  \text{PA},\text{PB} \)及びこの放物線で囲まれる図形の面積を\( \displaystyle  S \)とする．\( \displaystyle  \text{PA}, \text{PB} \)が直交するときの\( \displaystyle  \text{S} \)の最小値を求めよ．(19/2/28up)

\( \displaystyle \small \int_{0}^{1}\!\!\left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\!\left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right)dx \)

そこそこ計算量があって大変です．(19/2/26up)

\( \displaystyle  f(x)=x\sqrt{4-x^2} \) \( \displaystyle  (0≦x≦2) \)

(1) 関数\( \displaystyle  y=f(x) \)の最大値を求めよ．

(2) 関数\( \displaystyle  y=f(x) \)のグラフと直線\( \displaystyle  y=x \)の共有点の\( \displaystyle  x \)座標を求め，それらが囲む図形の面積を求めよ．

(3) (2)の図形を\( \displaystyle  x \)軸周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．(19/2/26up)

4/4,6/6,8/8,10/10,12/12

5/9, 7/11, 9/5,11/7

は常に曜日が同じになります(2019年は木曜日)．これを利用して曜日を素早く答える計算方法です．(19/2/26up)

センター試験2019で出題された一次不定方程式

\( \displaystyle  49x-23y=1 \)

を満たす整数解について，

(1)数学Aの教科書風(ユークリッドの互除法)

(2) まとまりをつくる方法

(3) 行列を使う方法

の3つの解き方を紹介しました．(19/2/20up )

妹シリーズ2作目．(19/2/16up)

放射性炭素の性質を利用した年代測定法の話です．(19/2/16up)

符号理論の話です．2015年8月撮影したものの再up .(19/2/13up)

\( \displaystyle  \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{2nk-k^2}}=? \)

高校範囲でOKな計算です．(19/2/13up)

面白い問題です．微積分の力で計算してみました．(19/2/12up)

オリンピック関係でサマータイムの話題があった2018年夏に撮影したものです．(19/2/10up)

\( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{k^4+4}=? \)

自作で作ってみました．(19/2/5up)

妹シリーズ1作目です．(19/2/4up)

\( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+\frac{1}{2}}{n-\frac12}\right)^n=? \)

ネイピア数関連の極限の処理です．(19/2/4up)

リアル教材です．(19/2/3up)

モンスター(エナジードリンク)に水を入れて楽器っぽくしました．(19/2/3up)

\( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}=? \)

うまく処理しましょう．(19/2/3up)

ペットボトルにひもを巻きつけて三角関数の公式

\( \displaystyle  \sin(\theta-90^{\circ})=\cos\theta \)

\( \displaystyle  \cos(\theta-180^{\circ})=-\cos\theta \)

などの公式を表現しました．(19/2/2up)

整数解を求めよ．

\( \displaystyle  x\log 360-y\log 48-z\log 225+\log10=0 \)

自作してみました．(19/2/2up)

160年ほど未解決のリーマン予想．このリーマン予想と同値な条件が高校範囲で言えるという話です．(19/2/1up)

お気に入りの問題です．直感に反する答えが出るのが面白い．(19/1/31up)

\( \displaystyle  F(\xi)=\frac{R}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nR)e^{-inR\xi} \)

の意義について話しました．(19/1/30up)

標準偏差の導入用です．(19/1/30up)

微分を図形的に考えてみた話です．(19/1/29up)

直感的な理由を説明．(19/1/28up)

\( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=? \)

高校範囲でイケます．(19/1/27up)

誘導をつければ大学入試でも出せそうです．(19/1/26up)

\( \displaystyle  \int_{-1}^{1}\frac{x^4+2x^3+4x^2+6x+2}{x^3+2x^2+2x+4}dx=? \)

ごちゃごちゃしてますが，やることはいつも一緒です．(19/1/23up)

\( \displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{n!}=? \)

宿題もつけてみました．(19/1/23up)

1枚の図にまとめて大小関係を比較できるようにしました．結構好きな説明です．(19/1/22up)

\( \displaystyle \frac{10033}{12877}  \)

の約分をテーマにして，ユークリッドの互除法についての説明をしました．(19/1/17up)

\( \displaystyle  \cos 42^{\circ} \)の計算をしました．(19/1/16up)

ギターと\( \displaystyle  \sqrt[12]{2} \)の話です．(19/1/10up)

CTスキャンの話をしました．(19/1/7up)

地学基礎の教科書に乗ってる話です．(19/1/6up)

平均値の定理を使います．(18/12/31up)

\( \displaystyle  \log \)の定義からはじめ，教科書内にある公式を全部証明してみました．(18/12/28up)

相関係数が\( \displaystyle  -1 \)以上1以下であるというのは，数学1教科書では証明がなされていませんので今回示してみました．コーシーシュワルツの不等式から示すことができます．(18/12/28up)

直接的な方法でなく，面積の差として計算してみました．(18/12/23up)

多項式に数値を代入場合、くくるなどしてから計算した方が楽になることがあります．(18/12/20up)

\( \displaystyle  \frac23 \)と\( \displaystyle  \frac{3+\sqrt2}{7} \)はどちらが大きいかをシステマチックに調べる方法．実際のセンター試験で登場した数値です．(18/12/17up)

放物線\( \displaystyle  y=ax^2+bx+c(=f(x)) \)上の\( \displaystyle (m.f(m)) \)における接線の方程式は

\( \displaystyle  y=f'(x)x+c-am^2 \)

となります．頻繁に使うので覚えておいてもいいかも，という話題です．(18/12/12up)

高校範囲で，ネイピア数\( \displaystyle  e \)(とその有理数乗が)無理数であることを示します．(18/12/9up)

"同じ席になる人がいないような席替え"の仕方を完全順列といいます．この計算をやってみました．(18/12/5up)

高校範囲で示してみました．巧みな式変形です. (18/12/5up)

結論としては「ない」です．その証明と，ルビー多項式という素数を多く返してくれる二次式について紹介．(18/12/3up)

高校範囲ではないですが，こんな世界もあるということで紹介．複素数より数の範囲を広げた四元数の範囲では交換法則が崩れ，また\( \displaystyle  2 \)次方程式に無数個の解がある場合があるなど通常の世界では考えられなかったような結果がでてきます．(18/12/3up)

ネイピア数\( \displaystyle  e \)がどんな場面で登場するのかと，その収束性の証明です．(18/12/2up)

\( \displaystyle  \log  \)を利用して，資産が倍になるのがなん年後か計算する公式を導きます．(18/12/1up)

曲線で囲まれた領域を台形で近似する手法．東京大学2007年理系の問題がベースになっています．(18/11/29up)

つみたてNISAを意識して話しました．(18/11/27up)

曲線の曲がり具合を表す曲率半径の公式を導きました．(18/11/25up)

3次方程式の解の公式を用います．(18/11/24up)

sin1°の計算に向けての準備．(18/11/23up)

3次方程式の解の公式の導出です．(18/11/22up)

四色定理は難しいのでそれを妥協して"五色定理"を示しました．(18/11/17up)

\( \displaystyle  1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k \)

について，\( \displaystyle  k=1,2,3,\cdots \)の公式を積分で次々と計算する方法を紹介．(18/11/9up)

高校範囲で

\( \displaystyle  \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6} \)

を導きます．(18/11/5up)

分割数の公式です．(18/11/4up)

二項分布を自作し，それをもとに仮説検定を行った動画です．学習指導要領解説が元ネタです．(18/11/2up)

オイラーの多面体定理から存在が保証されます．(18/11/1up)

高校の教科書でもちょっと意識して書かれているようです．(18/10/31)

用語の説明．(18/10/30up)

アルゴリズムをスライドで紹介．(18/10/29up)

ホワイトボードで説明．(18/10/26up)

説明といった方がいいかもですが，方針はわかると思います．(18/10/25up)

関数列\( \displaystyle  f_n(x)=nx(1-x)^n \) (\( \displaystyle  0≦x≦1 \))\( \displaystyle  (n=1,2,3,\cdots) \)について

(1) 関数列\( \displaystyle  f_n \)は\( \displaystyle  n\to\infty \)のとき区間\( \displaystyle  I=[0,1] \)上各点収束するが一様収束しないことを示せ．

(2) \( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx \)を求めよ．

カテナリー(懸垂線)\( \displaystyle  y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \)を導きます．数学3の教科書にもカテナリーの話題がちょこっとかいてあります．(19/5/18up)

\( \displaystyle  \text{Arctan}A+\text{Arctan}B=\text{Arctan}\frac{A+B}{1-AB} \)

(ただし，左辺の和の絶対値が\( \displaystyle  \frac{\pi}{2} \)以下とする)

数学検定でときどき出てきたような記憶．(19/3/23up)

広義積分\( \displaystyle  \int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos 2x}{x^2}dx \)を計算せよ．ただし，必要ならば\( \displaystyle  \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2} \)を使ってよい．

(19/3/21up)

\( \displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{1+k^2+k^4}=? \)

まずはあの変形です．(19/3/15up)

\( \displaystyle  \int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2} \)

を複素関数論の力で計算します．(19/3/14up)

実数の範囲だと解はありませんが，複素数の範囲だと\( \displaystyle  \sin z=2 \)には解があります．(19/3/6up)

\( \displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n\cdot n}=? \)

分母に\( \displaystyle  n \)が来ているので，あの処理です…(19/2/26up)

オイラーの等式\( \displaystyle  e^{ix}=\cos x+i\sin x \)を利用してコサインの和\( \displaystyle  \cos x+\cos 2x +\cos 3x+\dots +\cos nx \)を計算する方法です．(19/2/15up)

\( \displaystyle  \int_{0}^{\infty}\cos (x^2)dx\)

を複素関数論の力を使って計算します．(19/2/14up)

どんな連続関数\( \displaystyle  f(x) \)に対しても

\( \displaystyle  \lim_{t\to\infty}\int_{a}^{b}f(x)\sin tx dx=0 \)

が成り立つ．

サインの激しい揺れによって元の関数\( \displaystyle  f(x) \)がなんであっても積分ゼロにさせられるという面白い結果です．コメント欄に電気信号についての関連話題があり，勉強になりました．(19/2/8up)

広義積分の話です．(19/2/7up)

うまく作られた問題です．積分と微分演算子の交換を保証するために一様収束であればよい、という話も少ししています．(19/2/6up)

フーリエ変換

\( \displaystyle  \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-itx}dt \)

が何を表しているのかを背伸びして解説．もう少し深めた解説ができるようにしたい．(19/1/29up)

\( \displaystyle  \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{n^2}\right)=? \)

テイラー展開を知らないと難しいかも．(19/1/29up)

微分方程式を作って関数の形を導きます．(19/1/25up)

\( \displaystyle  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 4 \cdots (2n-1)}{3\cdot 6\cdot 9\cdots (3n)} \)

級数の収束判定法であるダランベールの判定法の活用です．(19/1/22up)

\( \displaystyle  y'+P(x)y=q(x)y^n \)

の形の微分方程式をベルヌーイ型といいます．
n=1のときは変数分離形、n=0のときは線型1階になります．(18/11/28up)

\( \displaystyle  \frac{1}{\cos x}\frac{dy}{dx}+\frac{3}{\sin x}y=1 \)

1階線型という形の微分方程式の解き方を解説．(19/1/20up)

微分方程式で最初にやる型である，変数分離形の説明です．(18/11/19)

\( \displaystyle  \frac{n!}{\sqrt{2n\pi}\cdot n^n\cdot e^{-n}}\to1 (n\to \infty) \)

\( \displaystyle  n! \)の評価を使いやすい関数で置き換えることができる公式です．(19/1/19up)

\( \displaystyle \small  f(x)=1^2x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+\cdots \)

を簡単にせよ．(19/1/18up)

\( \displaystyle  B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \)

ガンマ関数とベータ関数を結びつける公式です．(19/1/14up)

ガウス積分

\( \displaystyle  \int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \)

をウォリスの公式などから導きます．(19/1/12up)

ベータ関数

\( \displaystyle  \int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1} \)

の積分が収束することについて話をしました．(19/1/10up)

ガンマ関数

\( \displaystyle  \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt \)

の収束性と，階乗の一般化になっていることについて話しました．(19/1/9up)

(19/1/7up)

ウォリス積分\( \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx  \)から導きます．(19/1/3up)

\( \displaystyle  a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots \)

は\( \displaystyle |a_n|\to 0  \)のとき収束するということを示しました．(19/1/1up)

正項級数\( \displaystyle \sum a_n  \)について．

\( \displaystyle  \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \)が1より小さいならば\( \displaystyle \sum a_n  \)は収束．

\( \displaystyle  \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \)が1より大きいならば\( \displaystyle \sum a_n  \)は発散

ということを示します．(18/12/16up)

二重積分の定義を確認し，３次の微小量の項がゼロになる説明もしてみました。(18/12/11up)

テイラーの定理を導きました．(18/12/26up)

ロルの定理の言い換え，といってもよいかもしれません．(18/12/24up)

やはり，ロルの定理が基本的ですね．(18/12/21up)

連続関数は有界閉区間上で最大値をもつということを使ってロルの定理を示します．(18/12/19up)

点列コンパクトという概念を利用して証明します．(18/12/14up)

点列コンパクトという概念を説明します．(18/12/13up)

コーシー列(基本列とも)が収束することを示します．実数の性質の1つです．(18/12/6up)

これも実数の性質の1つです．(18/12/6up)

実数の性質の言い換えシリーズ．(18/11/12up)

実数の性質です．上限\( \displaystyle \sup  \)の存在を認めて，そこから表題の性質を導きます．(18/11/3up)

イプシロン-エヌ論法がないと証明が困難になる状況を説明しました．(18/11/25up)

VTuber流行りに乗ってみた動画．(18/11/21up)

微分方程式を立てて，ときます．(18/11/19up)

留数定理によって

\( \displaystyle  \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{x^2+1} \)

を計算します．(18/11/18up)

ローラン展開できることをスタートにして，留数定理を導きました．(18/11/16up)

正則な範囲で閉曲線上の線積分の値が0となる，という基本的な定理を示しました．(18/11/14up)

線積分の話です．(18/11/12up)

高校教科書で曖昧に書かれているところを説明．(18/11/10up)

解析接続するまでの道筋を示したものですが，未だ(2019年8月時点)解説動画ができていません．(18/11/4up)

\( \displaystyle  \log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots \)

を導きます．(18/10/27up)

連続関数列\( \displaystyle \{ f_n\} \)が\( \displaystyle  f \)に一様収束するとき，\( \displaystyle  f \)は連続であることを示しました．(18/10/26up)

一様収束なら連続性が保たれること(次の動画で紹介)，インテグラルとlimの交換ができることを示しました．(18/10/24up)

そもそも\( \displaystyle  -2 \)とは何か？など数の定義を把握することの重要せいを思い知らされます．(19/5/19up)

群の定義の単位元の存在および各元に対する逆元の存在条件を若干ゆるくしても同値であるという話題です．抽象的なことしか仮定していないのに豊富な結果が得られるのは不思議です．(19/5/17up)

1次関数の集合

\( \displaystyle  G=\{\phi :R\to R|\exists a(\not= 0)\in R, b\in R, \) \( \displaystyle  \hspace{7em} \forall x\in R,\phi(x)=ax+b \} \)

は合成に関して群になることを示せ．(19/5/13up)

代数の議論に慣れていると難しくないです．(19/3/17up)

\( \displaystyle  7^{2019} \)の下3桁を群論の力を利用して計算しました．(19/2/10/up)

\( \displaystyle  a,b\in H\Rightarrow ab\in H\)

有限の場合、群であるための条件は上の形にゆるめられるということを示しました．(19/1/21up)

\( \displaystyle  G/\ker f \cong G'\)

準同型定理の証明です．もとの群\( \displaystyle  G \)をカーネル\( \displaystyle  \ker G \)で割った剰余群と準同型像\( \displaystyle  f(G)=G' \)が同型という定理です．(19/1/14)

準同型写像で単位元にとぶような元の集合をカーネルといいます．このカーネルが正規部分群であることを示しました．

演算を保存する写像

\( \displaystyle f(ab)=f(a)f(b)  \)

を準同型写像といいます．この定義と性質を紹介しました．(19/1/11up)

加法群Z/nZが群Zを正規部分nZで考えたときの剰余群となっているという点を例示しました。(19/1/7up)

\( \displaystyle  aH=Ha \)

剰余類を元と考え演算を定義できるための条件を考えます．(19/1/5up)

剰余類に対して演算を定義するとはどういうことか？を考えました．(19/1/2up)

剰余類の代表元はその類に属する元であればどれをとってもよいという話をしました．(18/12/30up)

剰余類をつくるとどれも元の個数(濃度)が同じであることが示せます．群は抽象的に定義されたものですが，ここまで豊富な結果が得られるのが不思議です．(18/12/26up)

具体的な群の例として対称群\( \displaystyle  S_3 \)を扱います．(18/12/23up)

・2つの単射写像の合成は単射

・2つの全射写像の合成は全射

・合成という演算は結合法則を満たす

ことを示しました．(18/12/21up)

\( \displaystyle  G \)の部分集合\( \displaystyle  H \)が\( \displaystyle  G \)の部分群であるためには，

「\( \displaystyle  \forall a, b \in H \Rightarrow a^{-1}b\in H \)」

が必要十分であることを示しました．

群\( \displaystyle  G \)の単位元\( \displaystyle  e \)と\( \displaystyle  G \)の部分群\( \displaystyle  H \)の単位元\( \displaystyle  e' \)は同じである．

群\( \displaystyle  H \)の元\( \displaystyle  a \)の，\( \displaystyle  G \)における逆元と\( \displaystyle  H \)における逆元は同じである．

ことを示します．(18/12/15up)

群の定義です．(18/12/9up)

幾何分布

\( \displaystyle  P(X=k)=pq^k \)

の平均・分散の計算です．

初成功までの試行回数を幾何分布とする流儀もあります。この流儀の方を、日本アクチュアリー会では「ファーストサクセス分布」と呼んでいるようです(かっこいい) (19/5/12up)

ポアソン分布

\( \displaystyle  P(X=k)=\frac{{\lambda}^k}{k!}e^{-\lambda} \)

を二項分布から導きます．(19/4/11up)

\( \displaystyle  M_{X}(t)=E(e^{tX}) \)

平均や分散を求める際に使える道具です．(19/3/23up)

\( \displaystyle  P(X=k)=_{n}C_{k}p^{k}q^{n-k} \)

二項分布の平均・分散を定義から計算します．二項係数の処理がちょっとごちゃっとします．(19/3/19up)

分散\( \displaystyle  V(X)=E((X-E(X))^2) \)と標準偏差\( \displaystyle   \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\)について

(19/3/9up)

\( \displaystyle  E(aX+b)=aE(X)+b \)

を示します．(19/2/26)

離散変数，連続変数の期待値(平均)の計算です．(19/2/23up)

連続的な確率変数についての話です．(19/2/18up)

数直線上の0と1の間で任意に2つの値\( \displaystyle  x,y \)を選ぶとき，それらが

\( \displaystyle  |x-y|≧0.3 \)

を満たす確率を求めよ．

(19/2/9up )

\( \displaystyle  A \)が正則\( \displaystyle  \Leftrightarrow \) \( \displaystyle  |A|\not= 0 \)

を余因子行列を用いて示します．説明が難しいです．(19/3/15up)

\( \displaystyle  |AB|=|A||B| \)

の証明です．説明が難しいです．(19/3/10up)

対称的な形ですね．(19/3/7up)

行列式の基本性質

・2つの行を入れ替えると\( \displaystyle  -1 \)倍

・同じ行があると0

・行のc倍は全体のc倍

・行の和は分けて良い

ことを示します．(19/3/3)

4次の行列式を3次に表す場合で示しました．線型代数は説明が難しいです．(19/2/28)

置換を用いた行列式の定義です．行から1個ずつ選ぶという感じを掴みましょう．(19/2/24up)

置換の意味とその計算方法です．(19/2/22up)

\( \displaystyle \left( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \\ \end{array} \right)^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a \\ \end{array} \right) \)

を示します．一昔前の数学Cで扱っていた内容です．(19/2/20up)

行列の積について．なぜそんな計算を考えるんだ？という疑問を持ちやすいので，行列の積が登場するシーンを紹介．(19/2/19up)

ベクトルたちを「どの2つのベクトルも直交」していて「大きさが1」にする計算方法です．(19/1/3up)

黒板シートに対して白マーカーが有効か試してみた．(19/6/2up)

古くなった黒板シートの張り替え作業．(19/6/1up)

更新を不定期に行う宣言をした．(19/4/14up)

登録者が1万人超えた日にアップした動画です．(19/4/5up)

数学アプリジオジェブラでのスライダーの使い方と，作った教材に簡単にアクセスさせるための手順紹介です．(19/2/25up)

無数の細かい球を転がすことで正規分布(正確には二項分布)のできる様子を見ることができるおもちゃ紹介です．(19/2/20up)

瀬戸弘司さんの動画パロディです．(19/2/11up)

数学アプリジオジェブラの使い方です．(19/2/9up)

センター試験を救いたくなった動画です．(19/2/5)

コメントが多くなってきたので出した動画です．(19/1/31up)

センター試験に怒った風動画です．(19/1/21up)

文化祭などのネタにどうぞ．(19/1/11up)

(19/1/9up)

撮影時に使っている自宅の壁の紹介．(19/1/8up)

角度・長さを表現できる教材「くるくる君」と，正確な角度を黒板上で表現するフィルムの紹介です．(19/1/6up)

ユーチューブへのお誘いです．登録者120人ほどのときの動画です．(19/1/4up)

いろいろな曲線に関するクイズです．(19/1/3up)

2018年12月撮影．(18/12/9up)

当チャンネル1本目の動画です．(18/10/24w )

4次方程式\( \displaystyle  (x+1)(x+4)(x+7)(x+10)+9^2=0 \)を解く．(19/6/9up)

\( \displaystyle  \frac45\times\frac23=\frac{8}{15} \)を説明．(19/1/5up)

四則演算について．(18/12/24up)

はじめてみた．(18/11/19up)

予告．(18/11/17up)