ネイピア数eに親しみを

微分積分の分野で重要な定数 e について。

 

ネイピア数 e の定義

  \displaystyle e=\lim_{k\to\infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k

 

上の定義をいきなり覚えろ!と言われても、なかなかスッと頭に残りにくいですよね。

 

例え話として、あなたが悪徳なサラ金業者の経営者であるとしましょう。1年間に100%のの利息をつけてお金を貸していたとします(本当にやったら利息制限法違反!)。100万円を貸したとすると、1年後にあなたは100%の利息をつけて、 100\times 2= 200万円を得ることができるわけです。

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 ここで悪徳サラ金業者のあなたは、もっと儲けることを考えます。すなわち、利息がかかるタイミングをもっと細かくしよう、とするのです。利息の計算を1年間で100%ではなく、半年ごとに50%すつ計算することにします。半年後には50%の利息をつけて 100\times 1.5=150 万円,そして1年後にはその150万円に対してさらに50%の利息をつけて 150\times 1.5=225 万円という要領で計算することにします。さきほど(200万円)よりも多くのお金を得ることができるわけですね!

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ここで 100\times 1.5\times1.5 という計算が \displaystyle 100\times\left(1+\frac12\right)^2  とかけることに注意しておきましょう。

 

もっと細かく計算していけばもっと儲かりそうだ!と思ったあなたはさらに利息がかかるタイミングを細かくしていきます。1年の \frac13 、すなわち4ヶ月に1回、 33.3\cdots %ずつ利息をつけた場合は、

 \displaystyle  100\times\left(1+\frac13\right)^3=235.2\cdots 万円

という計算になります。先ほど(225万円)よりもさらに増えている!

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ここで一般化しましょう。利息がかかる回数を n とすれば、あなたが得られる金額は上の計算と同様に考えれば

  \displaystyle 100\times\left(1+\frac{1}{n}\right)^n  万円

となることがわかります。

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ここで \displaystyle  \left(1+\frac{1}{n}\right)^n を計算する必要がでてきました。これがn を大きくするときにいくらでも大きくなるならば、あなたのビジネスは大儲けすることができそうですが、実際はどうなのでしょうか…

 

実は、  \displaystyle  \left(1+\frac{1}{n}\right)^n の値は

 \displaystyle 2.718281828\cdots

という値に近づいていきます。ですから利息がつくタイミングをどんなに多くしても272万円以上に増やすことはできないのです。

 

…ということで悪徳サラ金業者という設定でのお話をしましたが、実は上の定数は、微分積分の計算でもよく登場する重要な定数なのです。これをネイピア数といい、e という記号で表します。

 

ネイピア数 e の定義

  \displaystyle e=\lim_{k\to\infty} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k

 

e が収束することの証明はまた別記事で。上の定義で

 \displaystyle  \left(1+◯\right)^{△} について、 ◯  △ はかけて 1 という関係であること

に注意しておきましょう。

  

さて、上の知識をもとに、対数関数 y=\log_{a} x の微分を(はじめてやるつもりで)やってみましょう。 \log_{a}x の平均変化率は

 x  x  x+h
 y  \log_{a}x  \log_{a}(x+h)

 \displaystyle \frac{\log_{a}(x+h)-\log_a{x}}{h} =\frac{1}{h}\cdot\log_{a}\frac{x+h}{x}

   \displaystyle  \hspace{32mm}=\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

と計算できます。ここで、真数の \displaystyle  \left(1+◯\right)^{△} という形について、 ◯ △ がかけて 1 という状態にするために、上式に 1=x\cdot \frac{1}{x} をかけて \displaystyle x は対数関数の真数の方へまわすと

  \displaystyle  \frac{\log_{a}(x+h)-\log_a{x}}{h}=\frac{1}{x}\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}

 となります。真数部分は h\to 0 のとき \to e ですから結局

  \displaystyle  (\log_{a}x)'=\frac{\log_ae}{x}

を得ます。最初から底は e にしてしまえ!ということで底変換公式

  \displaystyle \log_{a}e=\frac{1}{\log a} \ \  (省略された底は e )

により、

  \displaystyle  (\log_{a}x)'=\frac{1}{x\log a}

とするのが一般的です。

 

理系の生徒であれば \log_{a}x の微分を覚えておくのは必須ですが、同時に導き出すのもやれるようにしておきたいですね。

 

 e の収束性はこちkらの記事にまとめました。必要な方はご覧ください。

ネイピア数eが収束すること。 – すうがくブログ

 

では。